Carril sobre fundação elástica: o modelo de Zimmermann no Quasar

Equação governativa

O carril é modelado como uma viga de Euler–Bernoulli apoiada numa fundação elástica contínua de módulo $k$:

$$EI\,\frac{d^4 w}{dx^4} + k\,w = q(x)$$

A equação característica tem raízes complexas $\lambda = (\pm 1 \pm i)/L$, com o comprimento característico

$$L = \sqrt[4]{\frac{4EI}{k}}$$

Solução sob carga de roda

Pela fórmula de Euler, as raízes complexas dão uma solução oscilante amortecida. Para uma carga concentrada $Q$:

$$w(x) = \frac{Q}{2kL}\,e^{-|x|/L}\left(\cos\frac{x}{L}+\sin\frac{|x|}{L}\right), \qquad M(x) = \frac{QL}{4}\,e^{-|x|/L}\left(\cos\frac{x}{L}-\sin\frac{|x|}{L}\right)$$

Verificação com o troço-tipo CFM

Parâmetro	Valor
Carril	UIC 50, $I = 1946$ cm⁴
Módulo de via $k$	20 619 kN/m²
Carga de roda $Q$	100 kN
Comprimento característico $L$	0,94 m
Deflexão máxima $w(0)$	2,57 mm
Momento máximo $M(0)$	23,6 kN·m

Estes valores coincidem com os calculados pelo gémeo digital do Quasar para o mesmo troço.

Referências

1. Zimmermann, H. (1888). Die Berechnung des Eisenbahnoberbaues. Berlin: Ernst & Korn.
2. Esveld, C. (2001). Modern Railway Track (2.ª ed.). Zaltbommel: MRT-Productions.